«СППР» 2011

1.1. Сравнительный анализ парадигм исследования операций и принятия решений.
Парадигма – признанные всеми научные дост-я, которые в течение определённого времени дают научному сообществу модель постановки проблем и их решения
Исследование операций (ИО) – применение мат., количеств. методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.
Осн. ср-ва решения задачив ИО: построение колич-й модели, выбор критерия оптим-ти и нахождение оптимального решения.
При широком применении МИО стали сталкиваться с новыми проблемами:
1. Задача о назначениях.
задано n работ, каждую из кот. может выполнить любой из n исполнителей. Стоимость вып-ной работы I исполн-м j равна Cij. Нужно распределить исп-лей по работам, т.е. назначить 1 исп-еля на каждую работу т. о., чтобы минимизировать общие затраты. Это задача ИО.  Если работы неодинаковы по важности, а исп-ли отличаются по кач-ву,  можно добавить критерий качеств-го вып-я наиболее важных работ. Необх. согласовать все критерии. Инф-я о компромиссе м. б. дана ЛПР на основе их опыта и интуиции.
2. Задача «стоимость-эффективность».
Модель сост из 2 частей – модели стоимости и модели эфф-ти. Они исп-ся, например, для выбора военной системы с опред. числом ракет. Модель стоимости предст. зав-ть стоимости от кол-тва ракет, а модель эфф-ти – зав-ть вер-ти поражения целей от кол-ва ракет. Обе модели объективные: строятся на фактич. данных. Однако вых. параметры моделей не объедин-ся поср-вом заданной зав-ти; выбор компромисса осущ-ет ЛПР.

1.2. Теорема о декомпозиции, правило modus ponens.
Теорема о декомпозиции: если ФП бинарн. отношения , (n –входов), полученная при формализ-и  не возрастает по аргументу , то ФП n+1–арного отношения, αое хар-ет импликацию: , обладает св-вом: .
Если, то .
Условие не возрастания удовлетворяет логике Z2, Z3 и L.
Правило Modus Ponens как частный случай КПВ.
Силлогизм – дедуктивное умозаключение, в  αом одно суждение явл-ся обязат. следствием 2 других.
Осн. правилом вывода в традиц. логике явл-ся Modus Ponens, согласно αму можно судить об истинности высказ-я В по ист-ти выск-я А и ист-ти импликации. В обычных рассуждениях выр-е импликации Если А то В употребл-ся в ситуациях, когда А и В – НМ. Чтобы обобщить понятие импликации на НМ, предположим, что Х и У – разл. БМ, на αых заданы НМ A~,B~,C~: Если A~ то B~ иначе C~ - бинарное НО, которое опред-ся на ХхУ след образом: .
Высказ-е Если A~ то B~ можно сичтать част. случаем, когда  C~=Y.
Обобщённое правило Modus Ponens с n входами
Пусть R~(x1) R~(x2) ... R~(xn) R|(y) и R(x1, x2, ..., xn, y) являются ограничениями на x1, x2, ..., xn, y и представляют собой  НМ на БМ X1, X2, ..., Xn, Y на базовом множестве x1x2...xn y. Пусть заданы нечёткие множества на БМ x1, x2, ..., xn и n+1 –арное отношение, которое характеризует импликацию , при этом ФП бинарного отношения ,  удовлетв. вышеуказ. теореме, тогда КПВ утверждает, что решение уравнений назначений будет:

Вывод относительно y: , где
Если то   , где

2.1. Классификация типов проблем. Примеры.
Существуют большие различия в природе изучаемых проблем. Эти различия одним из первых заметил Г.Саймон, который предложил удачную классификацию проблем. Согласно этой классификации [2] проблемы подразделяются на три класса:

• Хорошо структуризованные, или количественно сформулир-е проблемы, в αых существенные завис-ти выяснены настолько хорошо, что они м. б. выражены в числах или символах, получающих в конце концов численные оценки.
• Неструктуризов-е, или качественно выраж-е, содерж-е лишь описание важнейших ресурсов, признаков и хар-к, количеств. зав-ти между α совершенно не известны.
• Слабо структуризованные, или смешанные, α содержат как качественные, так и количеств. эл-ты, причем качественные, малоизвестные и неопределенные стороны проблем имеют тенденцию доминировать.

Согласно этой классификации типичные проблемы исследования операций можно назвать хорошо структуризованными.
Метод «стоимость - эффективность» представляет собой первые попытки сравнения вариантов решений для слабо структуризованных проблем.

2.2. Проблема сложности вычисления КПВ. Формализация нечетких условных предложений с n входами.
Если  и  и ... и , то .
При фор-ции получим n+1 –ное отношение , то есть
 и  и ... и  ®
Сложность этой ф. будет составлять: O(|x|n*|y|).
Теорема (о декомпозиции): если ф. принад-ти бинарного отношения , (где n – кол-во входов), полученная при форм-ии  не возрастает по аргументу , то ф принад-ти n+1 –го отношения, & хар-ет импликацию:  и  и ... и  ® B| и импликации одинаковые, то.
Если  или  или ... или  ® B|, то .
Условие не возрастания удовл. логике Z2, Z3 и L.
Обобщённое правило Modus Ponens с n входами
Пусть R~(x1) R~(x2) ... R~(xn) R|(y) и R(x1, x2, ..., xn, y) являются ограничениями на x1, x2, ..., xn, y и представляют собой  НМ на БМ X1, X2, ..., Xn, Y на базовом множестве x1x2...xn y. Пусть заданы нечёткие множества на БМ x1, x2, ..., xn и n+1 –арное отношение, которое характеризует импликацию , при этом ФП бинарного отношения ,  удовлетв. вышеуказ. теореме, тогда КПВ утверждает, что решение уравнений назначений будет:

Вывод относительно y: , где
Если то   , где

ВАРИАНТ НОМЕР 2
Рассмотрим случай 2-х входов.
Если βх  есть αх   и βу  есть αу, то βz  есть αz
βх,βу,βz- лингв. Переменные (имена)
αх,αу,αz – термы этих АП.
Сх=х(х)/х    Сх=у(у)/у     Сх=z(z)/z

    Если (βх,βу) есть (αх,αу) то βz  есть αz  => нечет. мно-во хар-е векторный терм   Сх∩ Су
Сх ~ Мx(х)= Мx(х,y) y              Сy ~ Мy(y)= Мy(х,y) x
Цилиндрически продолжения заданы на одном М
Сх∩ Су===Сх * Сy
Сх∩ Су= Сх * Сy
Если А то В =  А*y  x*B
Если (βх,βу) есть (αх,αу) то βz  есть αz  = Сх * Сy * z x*y*Cz

3.1. Альтернативы, методы формирования множества альтернатив, допустимые альтернативы.
Основные элементы многокритериальной задачи ПР (МКЗ)
   МК модель может быть представлена в виде: <T, S, K, X, F, P, R>:
 T – постановка задачи, выявление целей;
 S – мн-во альтернатив;
 K – мн-во критериев;
 X – мн-во шкал;
 F – отображение множества альтернатив на множество векторных оценок;
 P – система предпочтения ЛПР;
 R – решающее правило.
 1. Выявл целей и опред типов задач. Класс 1 и класс 2 должны быть приведены к виду, когда они становятся задач выбора подход альтерн. для достиж. заданных целей => необход. опред. цели. Формул. проблему, мы говорим в явной форме, что не нравится нам, чего мы не хотим. Говоря о целях, мы пытаемся сформул. то, чего мы хотим, указав направление, в которое надо уходить от не устраивающей ситуации.
   Цель – заранее мыслимый результат деят. человека. Постановка задачи характеризует цели ЛПР.
   Основные постановки:

• Есть множество альтернатив:

                                                                        Sn

   Это линейное упорядочивание альтернатив.

• Выделение лучшей альтернативы:

Здесь - лучшая альтернатива.

• Выделение неупорядоченного подмножества лучших альтернатив "задача о рюкзаке").

Здесь  - подмножество лучших альтернатив.

• Групповое упорядочивание альтернатив (стратификация).

В сложных структурах множество S разбито на непересекающиеся слои:

• Неупорядоченное разбиение альтернатив (классификация).

Здесь  - классы (подмножества) альтернатив.

Формирование множества альтернатив

Мн-во S представл. собой совокуп. альтер., удовл. в каждой задаче опред. огранич. и рассматр. как возмож. способы достиж. поставл. цели. Если имеется только одна альтер., то проблемы принятия решений не возникает. Считается, что отсутствие много альтерн-сти следует расценивать как недостат. проработку решаемой задачи.
Допуст. реш. формир. на основе инф. о реальн. ситуации и имеющ. в задаче огранич., а также на основе практиче.опыта ЛПР и экспертов.
В нек. задачах мн-во альтер. м. б. сформир. на основе морфологич. анализа. Его суть заключ. в том, что исход. пробл. разбивается на ряд независ. подпроблем (уровней). Затем для каждого уровня опред. возмож.способы реш. подпроблем (элементов уровня). Вариантом реш. явл. набор элем., в кот. входят по одному элементу с каждого уровня.
Н-р, если это объект проект-я, то он разбивается на функц. блоки А, Б, В. Затем составл. морфологич. табл, каждая строка кот. содержит возмож. вар. одного из блоков объектов проект-я.
Таблица 2
Морфологическая таблица

Вар. объекта образуют различные допуст. комб-ии вар. отдельных блоков (первая альтер. – А1Б2В1, вторая альтер. – А4Б1В2 и т.д.). Надо обращать внимание на совместимость от дельных вариантов блоков.
Кроме того, при формировании множества альтернатив может использоваться метод "коллективной генерации идей" (или метод "мозговой атаки"). Содерж. метода заключ. в следующем. Собирается группа лиц. Приветствуются любые идеи, возник. как непроизвольно, так и по ассоциации при выслушив. предлож. других участников. Категорически запрещается любая критика - важнейшее условие "мозгового штурма" (компетентную критику легче получить, чем компетентное творчество).

3.2. Нечеткий регулятор. Его основные элементы. Математическое обеспечение.
 

Задача регулятора – свести ошибку e = g–x к нулю.
Здесь присутствуют три лингвистических переменных:
<”отклонение”, T, e, G, M>
<”скорость изменения отношения”, T, e, G, M>
<”управляющее воздействие”, T, U, G, M>
T = {NB, NM, NS, Z, PS, PM, PB}
Z – около нуля
NB – отрицательное большое;
NM – отрицательное среднее;
NS – отрицательное малое;
PS – положительное малое;
PM – положительное среднее;
PB – положительное большое.

Правила: выходная переем. объекта управления x(t) сравнивается с заданным знач. g, и ошибка согласов. и поступает в блок 1 и 3. Элем. 2 и 5 – фазификация, преобразуются значения отклонения и скорости в нечёткие множества, которые поступают в главный элемент нечёткого регулятора – блок 6. Основу составляют правила:
I: если отклонение = PB и скорость = PS, то управление = PM.


   Правило вывода в результате примет КПВ:

4.1. Формирование множества критериев.
Каждая альтер. приводит к опред. исходу, последств. которого оценив. по критериям, . Критериями будем называть такие показатели, которые:

• признаются ЛПР в качестве хар-к степени достиж. подцелей поставл.й цели;
• явл.я общими и измеримыми для всех альтер.;
• хар-ют общую ценность реш. т.о., что у ЛПР имеется стремление получить по ним наиб. предпочтит. оценки.

При формир. мн-ва критериев руководст. 2 принципами:

• полноты
• простоты

Набор критериев явл.я полным, если использ. любых дополнит. критериев не изменяет результ. реш. задачи, а отбрас.хотя бы одного из выбр. критериев, наоборот, приводит к измен. результ.. Принцип простоты выраж. в требов. не избыточ. (различ. критерии из мн-ва не должны учитывать один и тот же аспект последствий) и мин-ти (мн-во должно содержать как можно меньше критериев).
Мн-во критериев явл. аппроксимацией рассматр. проблемы с точки зрения ЛПР

4.2. Рациональное распределение ресурсов. Принцип максимизации полезности.

Максимизация полезности, то есть необход. найти набор проектов, котор. макс-ют полезность, не превыш. границ заданного бюджета. Это задача целочисл. линейная:
,       ,
   где n – кол-во проектов; ci – стоимость i-го проекта, bi – полезность i-го проекта.
max(0.109*x1 + 0.096*x2 + 0.119*x3 + ... + 0.103*x11)
2000x1 + 1622x2 + 1515x3 + ... + 5000x11 £ 15000

   Итого: E = D1*B1; F = D1*C1; общая полезность = 0.766; общая стоимость = 13469.
5.1. Основные типы шкал, их характеристики. Примеры. Построение множества Эджворта-Парето.

Оценка альтер. по шкалам критериев м.б. провед. либо посредством физ. измерений, либо эксперимент. путём. Под физ. измер. понимаются не только измер. технич. или физ. пар-ов, но и опред. матер., технико-экономич. и т. п. показат., котор. м.б. вычисл. существ.и расчёт. методами. Экспертные методы прим. в тех случаях, когда оценка альт. не м.б. проведена на основе физ. измер.
Множество может содержать шкалы разных типов. Декартово произвед.  образует мн-во вектор. оценок. Каждая альтер. оценив. по шкалам , т. е. каждой альтер. ставится в соотв. n – мерная вектор. оценка , где Xi – вектор. знач. i – го критер.по шкале Xi. Т.о. мн-у S ставится в соотв. мн-во вектор. оценок  с помощью отображ. .
Парето множество
   Альтер. A доминир.т над B, если : A > B, если ; , где xi – оценка по i-му критерию:
;; - доминирование.
   Парето мн-во – мн-во недоминируемых альтер., т.е. I этап – выделение Парето множества.

5.2. АСП и АИП. Различия и сходства.
Асп
 Этап I: принцип идентичности и декомпозиции. На начальном этапе исследования должна быть чётко сфор-вана цель, в терминах & будут опр-ться основные подходы к категориям (кластеры, элементы, суждения).
Этап II: реализуется принцип дискриминации сравнительных суждений и заключается в построении МПС сначала для кластеров, а затем для эл-тов.
 Этап III: синтез. Третий этап опр-ет абсолютные приоритеты, & соответствуют устойчивому  предельному состоянию системы с обратными связями.

АИП
  АИП используется для решения слабоструктурированных проблем. Методология с помощью этого метода опирается на систематический подход. При этом проблема рассматривается как множество разнородных взаимодействующих объектов, а не просто как изолированная совокупность.
   1 - Принцип идентичности и декомпозиции. Реализация его осуществляется на первом этапе, в & предусматривается структурирование проблемы в виде иерархии, & строится с вершины (общая цель – фокус проблемы), потом осущ-ся декомпозиция на подцели; АИП фокусируется на достижении целей, его использование приводит к рациональным решениям.
2 – Принцип дискриминации и логических суждений. используя суждения ЛПР или   Экс-та, либо определённые алгоритмы их обработки устан-тся веса дуг ij или веса объектов первого уровня, если их несколько.
3 этап: принцип синтеза. В рез-те этого этапа мы получаем глобальные приоритеты. Этот этап ещё называется принципом иерархической композиции и зак-тся в использовании формулы . Здесь V – уровень.
Различия и сходства.
   1. Не постулируются пред-ния о незав-ти эл-тов высоких уровней от э-тов более низких уровней и независимость эл-тов в пределах уровня. Следовательно, АИП рассматривается  как частный случай АСП.

   2. АСП располагает по приоритетам не только эл-ты, но так же и кластеры эл-тов.
   3. АСП не линейная структура, & имеет дело с истоками, циклами и стоками. Иерархия же линейная с целью на верхнем уровне и альтернативами на нижнем уровне. Это тоже различие.
   4. АСП можно сказать более свободная структура, делает возможным представление любой проблемы без учёта (как это требует АИП): что необходимо выполнить сначала, а что после.
   Рассмо-ный подход прогноз-ния имеет ряд преимуществ. Важнейшие из них:

• возможность построения модели на основе   Экс-тной инф., в том числе учёт влияния качественных факторов (в отл. от различных статистических подходов);
• возм-сть проверки различных гипотез в структуре интен-ти влияния различных факторов.

6.1. Особенности выявления системы предпочтений ЛПР.
В теор. принят. реш. предполаг., что каждое лицо, приним. реш., имеет некотор. систему предпоч., из кот. оно исходит при рационал. действ.. Под сист. предпочт. ЛПP будем понимать совокуп. обычно не структуриз. его представ., связ. с достоинств. и недостат. сравнив. реш.. Предпочт. ЛПP структуриз., выявл. и формализ.,в ходе спец. исслед.. Эти исслед. опираются на результ. когнитивной психологии (науки, изучаю щей особенности человеческой системы переработки информации).
Эксперим. показывают, что в задачах принятия реш. существует как бы граница возможностей человека, опред. через число критериев, количество оценок на порядковых шкалах критериев. В пределах опред. знач. этих параметров большинство испытуемых успешно (с малым числом ошибок) справляются с задачей. При превыш. этих пределов никто из испытуемых уже не справляется. Возник. вопрос, почему? Необход. обратиться к структуре человеч. памяти. В наст. время наиб. распростр. трехкомпонен. модель памяти (рис. 2).

Рис. 2. Трехкомпонен. модель памяти
В соот. с моделью различают три вида памяти: сенсорную, кратковременную, долговременную
Виды памяти отлич. временем удержания и объемом запом. инф.. Сигналы из внеш.о мира поступ. в сенсорные регистры, где хранятся около 1/3 сек. Далее - в кратковрем. память, где хран. до 30 сек (а при повторении - существенно больше). Затем инф. или стирается, или поступ. в долговрем. память. Последнюю можно представить как неогранич. по объему хранилище, в котором инф. может хран. неогранич. долго.
Основн. внимание уделяется кратковрем.памяти, в которой, по мнению больш. психологов, осуществл. процессы ПР. Человек контрол. оп-ии над инф. в кратковрем. памяти. Важн. хар-кой кратковрем. памяти явл. ее объем, опред. кол-ом одноврем. сохр. в ней элементов. Предел. объем - 7± 2 структур. единиц инф..
Структур. единица может быть буквой (запоминаемой машинисткой при печати), бессмысл. слогом или сложным целостным образом (гештальтом). Человек образует структур. ед. инф. из данных рассматр. задачи. Но после того, как эти единицы заданы, их кол-во огранич. предел. объемом кратковрем. памяти.
Исслед.поведения людей при реш. многокритер. задач принятия реш. позволяют составить представл. о их возмож. при выполн. тех или иных операций.
Наиб. распростр. операции можно разделить на три группы:

• по ранжированию критериев;
• по сравнению значений критериев;
• с многокритериальными альтернативами.

Операции можно разделить на сложные (С), при которых человек (ЛП ,эксперт) может допускать противоречия или использовать упрощ. стратегии, и допустимые (Д), выполн. человеком с малым числом противоречий. Оценки степ. слож. указанных трех групп элементар. оп-ий приведены в табл.

Таблица 4. Сложность элементарных операций

При выявл. сист. предпочт. может наблюд. противореч. в высказ. ЛПР Как обнаруж. противореч.? Один из важных способов - это проверка на транзитивность (основное правило логического вывода). Пусть А, В, С - сравниваемые альтернативы. Тогда:

Построение решающих правил

Реш. правило представляет собой принцип сравн. вектор. оценок и вынесение суждений о предпочтит. одних по отношению к другим. Оно может быть задано в виде аналитич. выр-я, алгор. или словесной формул.. Упоряд.е мн-ва А с помощью некот. реш. правила и использ. св-в отображ. F позволяет осуществить переход к упоряд. непосред. альтер. на мн-е S.
Реш. правила, используемые в многокритериальных задачах, можно разделить на:

• эвристические
• аксиоматические

При эвристическом подходе реш. правило представл. собой способ свертывания критериев. При этом возникает необход. в опред. некот. пар-в свертки, кот. несут инф. о важности критерия.
Аксиоматический подход основан на использ. теории полезности, авторами которой являются Д.Нейман и Дж. Маргенштерн. Его отличают строгость, высокая точность в смысле малой вероятн. ошибок. Но этот подход предполагает хорошее знание ЛПР реш. задачи. ЛПР должен обладать четкой структурой предпочтений. Это более трудоемкая группа методов.

6.2. АСП. Формализация первого этапа.
Аксиома №1 связана с обратными значениями.
Аксиома №2 связана с гомогенностью.
Аксиома №3 связана с иерархической композицией.
   Последняя аксиома требует тщательной экспертизы в отличие от первых 2. В задаче выбора предпочтит. альтер. всегда зависит от элем. более высшего уровня, в то время как важность целей может зависеть от элем. нижнего уровня. Если это имеет место, то 3 аксиома не прим.а, т.е в этом случае имеет место проблема, структура кот. имеет обратн. связь, что м.б. описано в виде орграфа:
 

  Этап I:
принцип идентичности и декомпозиции. На нач.этапе исслед. должна быть чётко сформул. цель, в терминах кот. будут опред. основн подходы к категориям (кластеры, элементы, суждения). Элем задачи принятия решения, критерии, атрибуты объед. в кластеры, между кот. возможны произвольные связи. Кластер имеет внешнюю завис., когда его элементы или хотя бы 1 связан с элем., кот. тоже м.б. кластерами. Кластер может иметь внутр. завис. (E), когда его элем. связаны с др. элем. в том же классе, например, в E. Т.о., кластеры в АСП обычно не явл. простой совокуп. элементов. Они представ. обыч. систему и тем самым отлич. от элем.. Формир. кластеров и связей – неформал. процедура и осуществл. ЛПР и экспертом на основе конкрет. знаний и специфики решения задачи. Итог – граф, вершинами которого являются кластеры, а дуги отражают влияние кластеров друг на друга.
,
; ;
;

   Здесь N – количество кластеров; ki – количество элементов в i-ом кластере; M – общее количество элементов; .

7.1. Концептуальная модель СППР. Научно-обоснованные методы. Требования, предъявляемые им.

СППР явл. человеко-машинной системой, которая позвол. ЛПР использ. данные знания, объект. и субъект. модели для анализа и реш. слабоструктурированных и не структурированных проблем.

Концептуальная модель СППР

   В блоке АП структур. проблемы, т.е. сделана настройка СППР на предметную область пользователя, то есть формир. мн-во альтер., мн-во критериев, разрабат. шкалы и происходит оценка альтер. по ним.
   ПР: на входе структур. проблема; осуществ. выбор R, в соотв. с кот. реш. тот или иной тип задачи. Корректные и научно-обоснованные методы прин.реш. должны удовл. треб.:

• в методе должны быть использованы такие способы получения информации от ЛПР и экспертов, кот. соотв. возмож. системы преобраз. инф. человеком;
• в методе должны быть процедуры контроля возмож. ошибок, противоречий ЛПР;
• любые соотнош. между альтер. реш. должны объясн., при этом должна использ. инф. только от ЛПР или экспертов;
• реша.правила должны быть математ. обоснованы.

   БД, БМ, БЗ: они поддерж. функц. блоков. Важно подчеркнуть слово поддержка, то есть СППР помогает людям принимать лучшие решения.

Отличие СППР от экспертных систем

   Границу трудно провести. Различие не в результ., а в направл. работы. При построении ЭС внимание удел. способам представл. знаний, структурам БЗ, которые отражают представл о структурах долговрем. памяти человека. При построении СППР осн вним. направл. на сам метод ПР, т.е. на решающее правило.

7.2. АСП. 2ой этап.
Реализ. принцип дискри. сравнит. сужд. и заключ. в постр. МПС сначала для кластеров, а затем для элем.. Иерархии, используемые в АИП, связаны с распрост. качества (целей) среди сравнив. элем.,т.е, чтобы опред. у какого из них кол-во данного кач-а преобладает. Сети связаны с распред. влияния элем. на некот. др. элем. относит. данного кач-ва (цели), т.е влияние – ключ. кач-во. Степень влияния кластеров др. на др. сводится к формир. матрицы NxN:

V =                                 = {Vij}; ;

   Заполн. происходит по столбцам. В j-ом – веса влияния j-го кластера, получ. в рез. обработки МПС на все остальные кластеры в соотв. с графом. Если кластер не влияет на какой-нибудь другой, то в матрице там ставится 0, если же влияет только на один кластер, то записывается 1.
   Для кажд. столбца рассматр. матрицы м.б. построена МПС, при заполнении которой эксперт отвечал на вопросы: на какой из сравнив. кластеров в указ. строках рассматр. кластер, обознач. процесс, оказывает большее влияние и на сколько большее относит. цели.

   Следующий шаг: формир. МПС уже для элем. кластеров и вычис. их приоритетов, на основании которых формир.супер матрица размерностью MxM.

W =

Wij =

   Рассмотр. блок заполн. матрицы Wij размерностью KiKj. Заполнение – по столбцам.

• Если j-ый кластер не влияет на i-ый, то блок размерностью kixkj заполняется нулями.
• Если влияет, то может быть два варианта: элемент j.kj не влияет на i.ki, тогда столбец j.kj заполняется 0; если же влияет, то в данный столбец запис. веса влияния, получ. в результате обработки МПС на элементы i.ki.

   После формир. получ. взвеш. матрицу W* путём умнож. каждой блочной матрицы Wij на Vij, получ. при рассмотр.задачи влияния кластеров. Такая нормир. суперматрицы даёт свойство: сумма значений каждого столбца W* равна 1.
8.1. Общая схема решения задач принятия решений.
Постр. моделей многокритер. задач ПР явл. сложной процедурой, состоящей из формализ. и неформализ. этапов. Этапы этой процедуры обусловлив. элем. многокритер. модели, а послед-ть этапов и виды возможных итераций - взаимосвязями элем. (рис. 3).
Результаты упоряд. анализ. (этап 9). Может выявить не удовлетворенность ими ЛПР. Тогда исслед. причины неудовл.. Такими причинами могут оказаться, выпадение из анализа какого-либо допуст. вар. реш. (альтернативы), не полнота набора критериев, использ. в модели и т.п. В проц. постр. и исслед. многокритериальной модели участвуют три группы лиц:

• ЛПР
• аналитик
• эксперты

Аналитик осуществ. организац. процесса принятия решения. Его участие необходимо на всех этапах. Эксперты привлек. на тех или иных этапах по усмотрению ЛПР или аналитика. Без привлечения ЛПР в принципе могут быть выполнены лишь два этапа: построение решающего правила (этап 7) и упорядочение на его основе вариантов решения (этап 8).

Этапы решения многокритериальных задач

8.2. АСП. 3ий этап. Относительный и абсолютный приоритеты. Теорема.
Этап синтеза.
Приоритеты двух типов:
1) показывающ. влияние одного эл-та на любой другой – относит. приоритеты (то, что получаем на 2ом этапе)
2) абс. приоритет любого эл-та безотносительно того, на какие эл-ты он влияет.
Третий этап опр-ет абс. приоритеты, к-рые соотв-т устойчивому предельному сост. системы с обр. связями. Опред-е этого состояния осн-ся на теореме:
Т. Если W* явл-ся примитивной, стохастической (по столбцам), то имеет место след. св-во
W – матрица, имеющая одинаковые столбцы (единств. вектор равновесного состояния), эл-ты к-рых не изменятся при дальнейшем увелич. показателя степени.
Примитивная матрица - имеет единств. собств. вектор.
Неотриц. матрица W* наз-ся стохастической тогда и только тогда, когда решением ур-ния  явл-ся единичный вектор l=(1,1,…,1), а собств. число =1.
Столбец из матрицы W связывают с абс. приоритетами. Их можно интерпретировать как прогнозируемые значения вклада эл-тов в цель с учётом их взаимного влияния. Эл-т, имеющий высокое значение предельного приоритета, в большей степени опр-ет цель, т.к. в пределе «накапливает» в себе влияние других факторов.

9.1. Метод смещенного идеала. Преимущества и недостатки.
Это группа методов с особенностями: 1) наличие процедур формирования идеального объекта, к-рый в общ. случ. может не принадл. мн-ву исх. альтернатив; 2) наличие процедур исключения из исх. мн-ва опред-го подмн-ва альтернатив
Исх. данные: мн-во альтернатив: {Si}, ; мн-во критериев: {Kj},
1) формирование идеального объекта:
S+ = {x1+, x2+, ... , xm+} = {xj+},
S- = {x1-, x2-, ... , xm-} = {xj-},
Xj+ = max Xji  "j Î Z1;   Xj- = min Xji  "j Î Z2  |Z1 È Z2| = m
Z1 – подмн-во мажорируемых критериев, т.е. полезность объекта возр. при возрастании значения критериев;
Z2 – подмн-во минорируемых критериев, ... , при убывании значения критериев;
2) переход к относительным единицам и вычисление расстояния до идеального объекта:
0 £ dji £ 1,
     
3) задаётся относительная важность критериев: каждому критерию в соотв-е ставится число lj, 0 ≤ lj ≤ 1,,    
Устанавл. компромисс между критериями
4) вычисляется расстояние от абсолютно наихудшего объекта:

Переход к расст. от наихудш. объекта осущ-ся для того, чтобы оба сомнож-ля были одинаково направлены, т.е. увеличение lj и (1-lj) будет соотв-ть большему учёту Kj критериев. Р меняется для того, чтобы не зависеть от метрики.
5) процедура отсеивания
Рассм-ся последний столбец и искл-ся та альтернатива, к-рая наиболее часто повторяется.
6) возвр. к 1му шагу, но без исключенной  альтернативы
Преимущества: сложность алгоритма мало зависит от кол-ва альтернатив и критериев
Недостатки: 1) критерии д.б. кол-венными; 2) сложность определения li в числовом виде.

9.2. Применение нечётких множеств. Обоснование подхода. Принцип несовместимости.
Понимание какого-л. процесса или явления отождествл-ся с возм-ю его колич-го анализа. В наст. время подвергается сомнению правомерность такого анализа, основанного на исп-и дифф-х или конечно-разностных ур-й, для описания систем, в которых участвует человек (слабоструктурир. и неструктурир-х),.
Системы, неотъемл. фактором кот-х явл-ся именно человек и его суждения, относятся к классу слабострукт-х систем (СС-систем), для к-х обычные колич-е методы анализа и описания не применимы.
В осн. этого тезиса лежит принцип несовместимости (Л. Заде):  чем сложнее система, тем менее мы способны дать точные и в то же время имеющие практич. значение суждения. Для систем, сложность которых превосходит некоторый пороговый уровень, точность и практический смысл (содержательность) стан-ся почти взаимоискл-ми хар-ми.
В этом случае точный колич-й анализ СС-систем не имеет большого практич. значения при решении реальных эконом-х, соц-х, полит-х и др. задач, сравнимых по сложности и связанных с участием человека или группы людей.
Альтернативный подход: ключевыми Эл-ми мышления явл-ся не числа, а понятия, которые по своей сути являются нечёткими в силу индуктивности мышления человека.
Индукция - способ обнаружения закона для бесконеч. числа данных по конечному. Однако подобное принцип-но невозможно => рез-т индуктивных выводов всегда нечёток,.
Парадоксы возникают тогда, когда понятия «быть кучей», «быть лысым» поним-ся точно, исключая их нечёткость. Т.о., для радикального изменения работы слабострукт. и неструкт. систем необходимы подходы, к-е не фетишизируют такие понятия как точность, строгость, а исп-ют методологич. схемы, содержащие нечёткость и неполную истинность. Язык нечётких множеств и алг-мов в наст. время наиб. адекватный мат. аппарат, который позволяет макс. сократить переход от вербального словестного качеств-го описания объекта, к-е хар-ет человеч. мышление, к численным количеств-м оценкам его состояния и сформулировать на этой основе простые и эффективные алгоритмы, т.е. позволяет моделировать человеч. размышления и человеч. спос-ть решения задач.

10.1. Метод перестановки.
Проверяются все перестановки альтернатив по предпочтительности и сравниваются по предпочтительности.
1) составление исходной матрицы принятия решений:
P =

• назначение весов важности критериев: {li},

3) построение вариантов всевозможных перестановок:
πq = (Si1, Si2,..., Sin),  "q, 
4) формир-е мн-ва номеров критериев (для каждой пары альтернатив), значения к-рых согласуются с порядком альтернатив рассмат-й перестановки:
Ck,l = {j|xk,j  xl,j}, , k ¹ l
5) формир-е множества номеров критериев:
Нk,l = {j|xk,j < xl,j}, , k ¹ l
6) определение оценки каждой перестановки альтернатив:
"q, 
7) упорядочивание всех перестановок по убыванию
лучшая та, для к-рой величина bq наибольшая.
Преимущества метода: этот метод м.б. исп-н, когда оценка осущ-ся в ранговой шкале
Недостатки: 1) сложность алгоритма = n!; 2) ранжирование альтернатив производится на порядковых шкалах; 3) вес критериев вводится в виде чисел.

10.2. Четко и нечеткое множество. Определение и примеры для различных типов базового множества.
Множество (основоположник Хантор)– многое, мыслимое как единое.
Способы задания множеств:

• перечислением {ai}, где  
• путём указания некот. свойства

   Пусть X –множество, а A – подмн-во X, тогда xi Î A.
Характеристич. ф-ция .
   Пример:  X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}   A = {2, 4, 5}     A = {0/1; 1/2; 0/3; 1/4; 1/5; 0/6}
   Нечётким мн-вом(НМ) на мн-ве X наз-ся сов-ть пар , где : x ® [0, 1] – функция прин-ти; – степень прин-ти x к НМ .
   X– базовое множество той или иной предметной области.
   Если X– непрерывное, то , ò - знак объединения.
   Если  – дискретное множество, то
   Интерпретацией степени прин-ти явл-ся (согл. Заде) субъективн. мера того, на сколько элемент x Î X, соотв-ет понятию, смысл которого формализ-ся с НМ .
Носитель – искл-ся те объекты, которые совсем не соотв-ют : )
Ядро  - объекты, явл-ся осн. представителями :
-нормальное НМ.  субнормальное.
  

Данная Заде интерпретация не исключ. других, задача поиска к-х достат. актуальна. Так, напр-р, ст. прин-ти=вер-ть того, что ЛПР отнесёт элемент х к НМ А.

11.1. Основные сведения АИП. Методологические основы.
СППР, основанная на методе анализа иерархий (МАИ), явл-ся простым и удобным ср-вом, которое поможет стр-рировать проблему, построить набор альт-в, выделить хар-ризующие их факторы, задать значимость этих факторов, оценить альт-вы по каждому из факторов, найти неточности и противоречия в суждениях ЛПР/эксперта, проранжировать альт-вы, провести анализ решения и обосновать полученные рез-ты.
СППР МАИ может исп-ся при решении след. типовых задач:
1) оценка кач-ва организац-х, проектных и конструкторских решений;
2) опред-е политики инвестиций в различных областях;
3) задачи размещения (выбор места располож-я вредных и опасных пр-в, пунктов обслуж-я);
4) распределение ресурсов;
5) проведение анализа проблемы по методу "стоимость-эффективность";
6) стратегическое планирование;
7) проектир-е и выбор оборудования, товаров;
8) выбор профессии, места работы, подбор кадров.
Осн. положения МАИ были разработаны амер. математиком Саати и опубликованы в 1977.
МАИ исп-ся для решения слабо структуриз. и неструктуриз-х проблем. Методология решения таких проблем опирается на системный подход, при к-ром проблема рассм-ся как рез-т взаимодействия мн-ва разнородных объектов, а не просто как их изолир-я и автономная совок-ть.
Чел-ку присущи 2 хар-ных признака аналитич. мышления:
1) умение наблюдать и анализировать наблюдения
2) способность устанавливать отношения между наблюдениями, оценивая уровень (интенсивность) взаимосвязей, а затем синтезировать эти отношения в общее восприятие наблюдаемого.
На основе этих свойств человеческого мышления были сформулированы 3 принципа, к-рые явл-ся сутью МАИ:
1) принцип идентичности и декомпозиции;
2) принцип дискриминации и сравнительных суждений;
3) принцип синтеза.

11.2. Алгебра нечётких множеств. Законы для нечетких множеств.
Как и в обычной теории множеств, для НМ вводятся операции объединения, пересечения, дополнения.
1.Объединением НМ  и , заданных на одном БМ Х наз-ся ;.
нечёткая дизъюнкция  
моделирует лингвистическую связку ИЛИ
2.Пересечением НМ  и , заданных на одном БМ Х наз-ся ;.

   3. Дополнение:.
Законы:

• алгебра чётких множеств – частный случай операции;
• ФП операции пересечения д. б. не больше, а ФП объединения не меньше, чем ФП кажд. из НМ и   3)Д. б.выполнены законы теоретико-множественных операций:
• A| Ç B| = B| Ç A|;   A| È B| = B| È A|;  //тут мне не хочется исправлять A| - этону и т.д.
• Ассоциативность: A| Ç (B| Ç C|) = (A| Ç B|) Ç C|;   A| È (B|  È C|) = (A| È  B|) È  C|;
• Дистрибутивность:A| Ç (B| È C|) = (A| Ç B|) È (A| Ç C|);  A| È (B| Ç C|) = (A| È B|) Ç (A| È C|);
• Инвалюция ù (ùA| ) = A|
• Де Морган ù (A| Ç B|) = ù A| È ù B| ;         ù (A|  È B|) = ù A| Ç ù B|

-   A| Ç ù A| 0;  ù A|È A|х
   Вероятностный базис:
;
 
   4.Операция декартового произведения:
Пусть и заданы на БМ X1 и X2 соответственно, тогда
   Пример:

X1 = X2 = 3 + 5 + 7;
A|1 = 0.5/3 + 1/5 + 0.6/7;
A|2 = 1/3 + 0.6/5 + 0/7;
A|1 x A|2 = 0.5/3.3 + 0.5/3.5 + ...
   5.Возведение в степень: ;
CON (A|) = A|2; - концентрации (очень) снижает степень нечёткости
DIL (A|) = A|0.5. – растяжение (почти) повышает, исп-ся, чтобы моделир-ть потери инф-и

12.1. Принципы и аксиомы АИП.
Три принципа, реализация к-рых и явл-ся содержанием МАИ:
1) принцип идентичности и декомпозиции;
2) принцип дискриминации и сравнительных суждений;
3) принцип синтеза.
1) Принцип идентичности. и декомп. Реализация его осущ-ся на 1м этапе, в к-ром предусматр-ся стр-рирование проблемы в виде иерархии, которая строится с вершины (общая цель – фокус проблемы), потом осущ-ся декомпозиция на подцели; АИП фокусируется на достижении целей, его исп-е приводит к рациональным решениям.
Рациональное решение – решение, к-рое наилучшим образом достигает мн-ва целей, поставленных ЛПР. За фокусом следует наиб. важный - уровень критериев, каждый из которых может разделяться, но на последнем следует уровень альтернатив.

ур1 – общий фокус; ур2 – уровень подцелей, т.е. критерии;
ур3 – альтернативы.
Иерархия – определённый тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязные множества и элементы каждой группы находятся под влиянием элементов другой группы. Сами элементы группы считаются независимыми.
2) Принцип дискриминации и сравнительных суждений. Суть данного принципа состоит в следующем: используя суждения ЛПР или эксперта, либо определённые алгоритмы их обработки устанавливаются веса дуг ij или веса объектов первого уровня, если их несколько, то есть в общем случае иерархия представляет собой:

Если цель одна, то она принимается за единицу.
Рез-т сравнения отражает не только факт, но и степень (силу, интенсивность и т.п.) превосходства. При этом исп-ся шкала относительной важности.
3) принцип синтеза. В рез-те этого этапа получаем глобальные приоритеты. Он ещё наз-ся принципом иерархической композиции и закл-ся в исп-и ф-лы.  V – уровень.

 Вводится индекс согласованности всей иерархии: , D – все эл-ты последнего уровня. Приемлемым явл-ся значение C £ 0.1. Если этого нет, надо пересмотреть нек-рые суждения и изменить вопрос или вернуться к 1му этапу и изменить стр-ру.

12.2. Расстояние между нечёткими множествами. Индексы нечёткости, особенности их использования.
Расстояние между НМ определяется след. свойствами:

Хемминг:
нормировка
Евклид:
нормировка
Индексы нечёткости
1. Метрический подход:
Т. к. , то внут. двусмысл-ть объекта x в отношении , проявл-ся в том, что он, хоть и в разной степени, принадлежит двум противоположным классам: классу объектов, обладающих свойством A и не обладающих.
Эта двусмысл-ть максимальна, когда  и максимальна, когда
В общ. случае показатель нечёткости можно опр-ть в виде функционала   
Свойства: 1)d(A)=0
2) 
3) тогда и только тогда, когда   явл-ся заострением :

4)
   Ближайшее чёткое множество к ,согласно Евклидову расстоянию, определяется с помощью характеристической функции:

Линейный индекс нечёткости: .
Квадратичный индекс нечёткости: .
энтропийный подход:
;      ;     ;
Если сущ-ет единств. i, при кот. pi=1, то E=1
Если для любого i  pi=1/n, то Е=1.
;.
   H максимальна, когда все элементы имеют одинак. степень прин-ти, и мин., когда A| - одноточечное множество. Т. е. зависит не от абсол. значений, а от относительных.

13.1. Определение иерархии и её формализация.
Иерархия - есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием элементов другой группы и в свою очередь оказывают влияние на элементы следующей группы. Считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемые уровнем, кластером, стратой) независимые. Рассмотрим общий вид иерархии (см. рис. 6).
Математически иерархия и ее свойства могут быть описаны следующим образом. На множестве объектов (рис. 6) определяется иерархическая структура путем задания  орграфа , который:
а) разбивает  вершины на непересекающиеся уровни:
               ;
b)  означает, что вес Zi объекта i непосредственно зависит от веса Zj объекта j ;
 c) если  - дуга графа G, т.е. , то объекты i и j находятся на смежных уровнях, т.е. найдется такое k, что ;

13.2. Классификация и методы построения функций принадлежности.
   Классификация методов построения:
 
Необходимо поставить в соответствие определённую степень принадлежности.
Осн. трудность – ФП д.б. задана вне самой теории=> её адекв-ть не м.б. проверена.
Наиболее часто ФП строится прямым методом.
В этом случае эксперт должен кажд. эл-ту мн-ва Х поставить в соотв-е степень прин-ти. Эти знач-я соглас-ся с его предпочтениями след. образом:
1)для любых х1 и х2 €Х тогда и только тогда, когда х1 в большей степени хар-ся понятием А~, чем х2.
2) для любых х1 и х2 €Х тогда и только тогда. когда х1 и х2 неразличимы отн-но понятия А~
В случае непрерывного НМ эксперту предост-ся станд. набор графиков с парам-ми. ЛПР выбирает наиб. подходящий график,  а затем в диалоге регулирует его пар-ры.
 
Прямые методы исп-ся в основном для описания понятий, α хар-ся измеримыми св-вами (количественными). Прямые методы имеют общий недостаток: человеку свойственно ошибаться, особенно в самооценке, поэтому рез-ты экспертного опроса в этом случае имеют налёт субъективизма.
Косвенные методы прим-ся для сниж-я субъект-го влияния, часто исп-ся в случае, когда рассм-ся качеств. факторы,  а БМ явл-ся неупорядоченным.
Наиболее показательным для этой группы методов явл-ся метод парных сравнений. В этом случае шкала парных сравнений будет иметь вид:

14.1. Шкала парных сравнений. Требования к ней. Закон Вебера-Фехнера.
Исп-ся в реализации принципа дискриминации и сравнит-х суждений (II этап МАИ).
Суждения ЛПР/эксперта явл-ся рез-том исслед-я его стр-ры предпочтений. При этом исслед-и примен-ся метод парн. сравн., содерж-е к-рого состоит в след. Пусть задано нек-рое фиксир-е мн-во объектов , к-рые сравн-ся попарно с т.з. их предпочтительности, желательности, важности и т. п. Рез-ты запис-ся в виде матрицы парн. сравн. .
Рез-т сравнения отражает не только факт, но и степень (силу, интенсивность и т.п) превосходства. При этом исп-ся шкала относит-й важности (Саати), выбор к-рой зависит от след. требований:
1) шкала должна давать возм-ть улавливать различия в ощущениях людей, когда они проводят сравнение;
2) диапазон измеряемой интенсивности шкалы должен соотв-ть рез-там когнитивной психологии.

Из шкалы след. св-во гомогенности (однородности) объектов. Оно соотв-т способности людей сравнивать объекты, которые не слишком сильно отличаются др. от др. Гомогенность существенна для сравнения объектов одного порядка, т.к. чел-кий разум склонен к допущению больших ошибок при сравнении несопоставимых элементов. Когда эта несопоставимость большая, объекты располаг-ся в отдельные кластеры сравниваемых размеров, что выдвигает идею об уровнях и их декомпозиции.
З-н Вебера:
Различие в ощущениях стан-ся заметными, когда значение стимула увелич-ся на нек-рый пост. процент от исх. значения.
r=?S/S (S-стимул, ?S-мин. величина, где мы начнём различать S)
Smin≤S≤Smax
Фехнер сформулировал послед-ть:


Т.о. значимые различия в стимулах опис-ся геометр. прогр. Фехнер заметил, что соотв-е стимулам ощущения запис-ся арифм. прогр. дискр. точек

- психофиз. з-н Вебера-Фехнера (M-ощущ,S-стим)

14.2. Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечётких множеств.
   Дано: {Sj}; ; {Ki}; . Каждому критерию ставится в соответствие нечёткое множество. Базовое множество – множество альтернатив.
; ;

   Какой из двух альтернатив (Si, Sj) в большей степени принадлежит понятию  и насколько.
;;
   Т.о., решающее правило м.б. сформ-но вербально: лучшей считается та альтернатива, к-рая удовл. критериям  и  ... . Такое решающее правило м.б. формализ-но с помощью пересечений . Т.к. все эти критерии опред-ны на одном и том же БМ. В кач-ве лучшей альтернативы выбирается такая, к-рая имеет наиб. степень принадлежности в K|.
   Если критерии различной важности, то оценивают эту важность ;.
   ; ; ; .

   Решающее правило задано вербально с помощью следующих правил:
<обобщённая цель> = (<цель>/<цель>
                         op <цель>))
<цель> = (<”элементарная цель”>/<цель>
                         op <цель>)).

Обобщённая цель – дерево;
Листья – элементарные цели; Ветвления – H.

17.1. Индекс согласованности и относительной согласованности. Содержательная интерпретация.
 показатели, & будут характеризовать степень противоречивости нашей матрицы, т.е. & заполнял   Экс-т:
 ИС – индекс согласованности, n – максимальное собственное число для идеальной матрицы: lmax > n, ИС < 0.1, т.е. 10%, то практически считается, что мера согласованности находится на приемлемом уровне   Индекс согласованности матрицы парных сравнений, элементы & сгенерированы случайным образом, называется случайным индексом (СИ). Ниже представлена таблица соответствия порядка и среднего значения СИ, определенная на базе 100 случайных выборок  и провели усреднение СИ.

 ОС = (ИС/СИ)*100%. Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Значение ОС меньшее или равное 0,10 считается приемлемым. Обычно ИС и ОС указываются в процентах. Согласно определению, ИС можно трактовать как отклонение от идеально проведенного эксперимента (метода парных сравнений), а ОС указывает, на сколько оцениваемая степень согласованности сходится со степенью согласованности самого неидеально проведенного эксперимента. Таким образом, МАИ допускает несогласованность (как неотъемлемую часть метода), признавая, что человеческие суждения находятся в постоянном процессе изменения и эволюции (поэтому не следует настаивать на 100 % согласованности, так как суждения могут измениться после того, как проблема решена). Но надежные решения не могут быть приняты без приемлемого уровня согласованности.

17.2. Требования к функциям принадлежности лингвистических переменных.
, где Si – носитель множества
|T| = W, где W – мощность множества
X Í R, где R – носитель вещественных чисел
inf x = x1 (x Î X) - min, sup x = x2 (x Î X) – max

• " Ti и " Tj Î T, [i > j   $ x Î Si   " y Î Sj   x > y]

;
   Это есть условия запрещения ФП иметь колоколообразный вид кривых.

• " Ti 0 < max (x Î X)

   Запрещает в базовом множестве T пар термов T1 и T2, а так же T2 и T3, так как в первом случае отсутствуют естественные разграничения понятий, аппроксимированных термами T1 и T2; во втором случае участку T2, T3 не соответствует никакое понятие.

• " Ti

Д.б. хотя бы 1 типичный элемент, образ-й этим понятием, т. е. не д. б. таких как T4.

• " b если дискретное базовое множество, то |x| <∞; если же непрерывное, то $ x1 Î R| и $ x2 Î R|, x1 £ x £ x2.

   Это говорит о том, что в любой задаче управления есть физические ограничения на численные значения.

• " Ti  .

18.1. 3й этап АИП. Определение согласованности всей иерархии.

Принцип синтеза

Реализация принципа синтеза составляет содержание третьего этапа. Искомые веса объектов определяются последовательно, начиная со второго уровня иерархии (рис. 8) в соответствии с решающим правилом


Веса объектов, принадлежащих уровню альтернатив, можно считать как результат измерения их в шкале отношений в диапазоне [0,1]. Согласованность всей иерархии С определяется по следующему выражению:

где ; , , - соответственно ИС и СИ таблицы парных сравнений, рассмотренной относительно i-ro объекта. Если и i>1, то для ; и - соотв-щие параметры таблицы парных сравнений, & была сформирована для определения весов объектов первого уровня. Приемлемым является значение С меньше или равное 10% В противном случае качество суждений следует улучшить. Возможно, следует пересмотреть формулировку вопросов при проведении парных сравнений. Если это не поможет улучшить согласованность, то, вероятно, задачу следует более точно структурировать, т.е. вернуться к этапу 1.

18.2. Принцип обобщения, применение универсальных шкал. Элементы нечёткой логики.
Принцип обобщения
   Одной из основных идей нечёткого множ. является такая, & носит эвристический характер и используется для расширения нечётких мно. на отображении:
f: X ® Y;  ;
;
;
;
; f-1 = {x/f(x)=y}

Элементы нечёткой логики
   Экс-т для оценки представлений использует вербальный шифр. В нечёткой логике истинность факта определяет X ~ [0,1], в этом случае истинность не& факта может быть описана с помощью лингвистической переменной <”нечёткая логика”, T, [0,1], G, M>.
   T* = {“истинный”, “очень истинный”, “более менее истинный”, “сомнительный”, “сложный”, “очень сложный”}.
                                                                 

“очень истинный”:
ù(A|) = 0.2/0.5 + 0.4/0.7 + 0.8/0.9 + 1/1 – “истинный”;
“очень истинный” ;
“ложный” – при форм-ции исп-тся принцип обобщения, изменим базовое множ., а степени принадлежности нет, так как осущ-тся переход от одного факта к другому.
   “очень истинный” – наоборот, осущ-тся переход от одного терма к другому, меняется степень принад-сти, а базовое множество одно и тоже. При формализации “ложный” используем принцип обобщения.

Применение универсальных шкал
   Изменение условий функц-ния нечётких моделей управления требует корректировки нечётких множ. Она может быть проведена повторным опросом   Экс-тов.
   Эта корректировка может быть проведена как повторный опрос    Экс-тов. Например, b ~ количество руды.
   При постоянном базовом терминальном множ приведём её к изменению условий, используя ф. отображения Ф.
   Для этого:

• определяется диапазон Xmin и Xmax;
• ф. принадлежности;
• (Xmin, 0) и (Xmax, 1) – прямое множество;
• для произвольной точки z на универсальной шкале строится её преобразование Ф-1(z). Опираясь на принцип обобщения, степень принадлежности точки – прообраза отклоняется на универсальной шкале. Так строятся все ф принад-ти.

   Обратное преобразование производится аналогично.

19.1. 7 шагов АИП. Использование АИП на предприятии.
   Нами рассмотрены три шага процесса при применении АИП. Они могут быть рассмотрены путём включенных в более обобщённый семи ступенчатый процесс выбора.
   Шаг 1: формулировка и исследование проблемы:
   - идентификация проблемы;
   - определение цели и альтернатив.
  Можно сверху, а можно и снизу: перечислим за и против относительно каждой альтернативы; эти за и против и можно использовать в качестве целей.
   Альтернатива:
      За - ...
      Против - ...
   Шаг 2: исключение недопустимых альтернатив:
   - определить "необходимые требования";
   - исключить альтернативы, не удовлетворяющие необходимым требованиям.
   Этот шаг используется для сужения множества альтернатив. Надо быть осторожным при формулировке необходимых требований.
   Шаг 3: структурирование моделей решений в форме иерархий - включить сюда цели, подцели и альтернативы, а если необходимо, то акторы, сценарии.
   Шаг 4: расчёт локальных приоритетов либо с помощью методов парных сравнений, либо с помощью нормировки. Необходимо использовать все фактические данные, доступ к которым имеется на текущий момент, но не забывать корректно трактовать их, то есть не принимать линейную кривую полезности (если используется метод нормировки), не подумав является ли это целесообразным допущением.
   Шаг 5: проведение синтеза с целью определения лучшего решения, то есть решения которое наиболее лучше удовлетворяет целям (расчёт глобальных приоритетов).
   Шаг 6: проведение анализов чувствительности, а если необходимо итеративный пересмотр решения.
   - если полученное решение чувствительно к тем факторам модели для которых не имеется достаточно достоверных данных следует подумать о том, чтобы потратить некоторое время и деньги на сбор необходимых данных и вернуться к четвёртому шагу;
   - проверить решение на согласие с вашей интуицией; если нет согласия, то следует спросить: почему интуиция подсказывает в качестве лучшей альтернативы другую, проверить всё ли учтено, а если нет то необходимо модифицировать модель и суждения, при необходимости повторить процесс, то есть обнаружится в этом случае, что и ваша интуиция, как и ваша модель подлежит изменению, что означает - идёт обучение; когда происходит согласие между интуицией и моделью происходит переход к следующему шагу.
   Шаг 7: документирование решения для обоснования контроля - почему так происходит, а не иначе.
   Как можно приступить к исследованию АИП в организации? Существует два подхода:
   - реинжениринг делового процесса - в любой организации принимается решение, а потом находится отклонение от правил заложенных в процессе, то есть необходимо всё коренным образом поменять;
   - частичное улучшение.
   Реинжениринг более дорог, но постоянное частичное улучшение часто наиболее лёгкий путь, в этом случае выясняется, как детали текущего процесса принятия решения соответствуют концепциям принятия решений АИП, то есть выясняется это отклонение. А это даёт возможность простых и значительных улучшений.

19.2. Нечёткие отношения. Алгебра, операции проекции и композиции.
Параметры технич. объектов м. б. связаны между собой разл. рода отнош-ми.Если нас интересует влияние пар-ра на произв-ть агрегата, связь м.б. описана разл. отношениями. Для их описания исп-ся нечёткие отношения(НО):
X, Y – чёткие множества.
Под нечётким бинарным отношением R| понимают НМ, которое определяется:

;; с какой степенью пара (x,y) Î данному отношению
   Пример:  X = {Иван, Влад};   Y = {Ник, Вик};
R| =”сходство”= 0.5/(Иван Ник)+0.7/(Иван Вик)+ 0.3/(ВладНик)+1/(Влад Вик).
   Пример, X=Y = 1+2+3+4;
R| = “намного меньше” =

   Пусть X1, X2, ..., Xn – чёткие множества, n-арным отношением наз-ся НМ:  ;        
Операции над нечёткими отношениями:

1.;
2.     3..
4.Проекция: пусть задано отношениеПроекция на Х – НМ , заданное на НМ Х и меющее ФП:
Проекция на У:
глобальная проекция
Пример, пусть X и Y – дискр мн-ва
Отношение явл-ся нормальным, если глобальная проекция=1

5.Композиция: пусть задано бинарное отношение R| на XxY и задано S| на YxZ, композиция – бин. отношение .

20.1. Решение задачи «стоимость-эффективность» с применением АИП.
Рассм-ся задача ПР на мн-ве планов или каких-л. проектов. Классич. подход основан на оценке каждого проекта с т. з. издержек (т.е., сколько необходимо сделать инвестиций для реализ-и проекта) и доходов, которые можно получить при их реализации. Сравнение альтерн-х проектов сводится к сравнению объемов доходов в расчете на единицу ресурса (т.е. издержек). Этот метод известен как анализ "стоимость-эффективность".
Пример 1.
Решение задачи ранжирования проектов А, В, С при традиционном подходе может быть сведено в таблицу:

При решении задачи возникают особенности:
1.отношение доходов к издержкам, оценив-е в стоимост. выр-и, по существу не явл-ся объективной мерой кач-ва проекта: неясно, как оценивать в деньгах выгоды и издержки неосязаемых ценностей (качеств. факторов);
2.известно также, что доходы и издержки распр-ся по многим сферам – соц., экон., полит., управленч. - и их взаимосвязь влияет на оценку альт-в.
Применение АИП позв. снять эти проблемы. В этом случае треб-ся построить 2 иерархии: одну для издержек, другую для выгод с одними и теми же альт-ми на нижнем уровне. Т. о., получают 2 вектора приоритетов - доходов и издержек. Затем вычисляют отнош-я доходов к издержкам для каждой альт-вы. Наибольш. знач-е из этих отн-й и опр-ет лучший проект.

20.2. Композиционное правило вывода. Определение формализации.
Это правило явл решающим в нечёткой среде и явл обобщ-м известной процедуры на нечёткие мн-ва:
   Заданы след-е предпосылки:

1. y = f(x);
2. x = a.   
y = f(a) = b - вывод

Распространим эту процедуру, когда функция явл интервальной, аргументы тоже явл интервальными:
    - полное мн-во
  F(x,y) – данную ф-ю можно считать как нечёткое бинарное отн-е на декартовом произв-и 0X*0Y.
   - цилиндрическое мн-во

   Пусть задано =>ее:,,
   Строим:    Нужно опр-ить: , для чего выполняем =>ее  - по опр-ению, так как  - цилиндрическое мн-во.

 - композиц-ое правило вывода на языке выраж-ий (функция принадлежности).
   Запишем его теперь на языке мн-в.
   Пусть R|(x), R|(x,y), R|(y) – огран-я на переменные x, (x,y), y, αые явл нечёткими мн-вами на мн-вах X, XxY, Y.
   Пусть A| и F| - нечёткие мн-ва на X и XxY, тогда композиц-ое правило утверждает, что уравнения назначения: предпосылки Þ ;  и реш их относ Y имеет вид R(y) = A| ° F| - вывод.

21.1. Решение задачи стратегического планиров-я с применением АИП.
Для тех специалистов, αые занимаются долгосрочным планир-м важно, что => делать сегодня, чтобы подготовиться к неопр-му будущему. Ответ на критику: контролируют изменения в свою пользу – планируя и перепланируя, а не просто реагируя на происходящее.
   Стратегическое планирование – это процесс оценки вероятного будущего, процесс обобщённого сценария.
   Процесс построения иерархии =>ий:

• Устанавливается фокус проблемы.
• Вкл-ют различные экономические, политические, социальные силы, влияющие на исход.
• Состоит из акторов, αые манипулируют этими силами. Акторы – люди, решающие какие действия принимать для реш проблем, а так же те лица, влияющие на реш проблем.
• Включение цели каждого актора.
• В него вкл-ются возможные сценарии и исходы, за αые борется каждый актор, как за рез-т своей цели.
• Обобщённый сценарий, являющийся композицией канонических сценариев на 5 уровне.

Из-за многих и часто противоречивых интересов в рез-те может получиться ослабл. вариант того, что каждый из акторов хотел бы видеть в кач-ве исхода. В рез-те 1 или неск. акторов могут начать работу над изменением неα из своих политик, чтобы попытаться осущ-ть новый исход, α ближе к тому, что они хотят получить. Это означает по существу переход к обратному процессу. В этом процессе каждый актор опр-ет для своего 2го уровня 1 или несколько желаемых сценариев, α он хочет реализовать, и определяет приор-ты этих сценариев с т.з. их воздействия на его вариант обобщ-го желаемого будущего. 3ий уровень вкл перечень проблем и ситуаций, α могут воспрепятствовать реализ-и сценариев; 4ый - акторов (независ. от того, упомянуты они или нет при прямом процессе), α могут повлиять на решение проблем; 5й - цели этих акторов. Последний уровень - политики (или изменения в целях) отдельного актора, αе, если следовать им, могут воздейств-ть на реализ-ю желаемых будущ. состояний.

21.2. Обобщённое правило modus ponens. Формулировка, примеры.
Правило Modus Ponens как частный случай КПВ.
Силлогизм – дедуктивное умозаключение, в  αом одно суждение явл-ся обязат. следствием 2 других.
Осн. правилом вывода в традиц. логике явл-ся Modus Ponens, согласно αму можно судить об истинности высказ-я В по ист-ти выск-я А и ист-ти импликации. В обычных рассуждениях выр-е импликации Если А то В употребл-ся в ситуациях, когда А и В – НМ. Чтобы обобщить понятие импликации на НМ, предположим, что Х и У – разл. БМ, на αых заданы НМ A~,B~,C~: Если A~ то B~ иначе C~ - бинарное НО, которое опред-ся на ХхУ след образом: .
Высказ-е Если A~ то B~ можно сичтать част. случаем, когда  C~=Y.
Обобщённое правило Modus Ponens с n входами
Пусть R~(x1) R~(x2) ... R~(xn) R|(y) и R(x1, x2, ..., xn, y) являются ограничениями на x1, x2, ..., xn, y и представляют собой  НМ на БМ X1, X2, ..., Xn, Y на базовом множестве x1x2...xn y. Пусть заданы нечёткие множества на БМ x1, x2, ..., xn и n+1 –арное отношение, которое характеризует импликацию , при этом ФП бинарного отношения ,  удовлетв. вышеуказ. теореме, тогда КПВ утверждает, что решение уравнений назначений будет:

Вывод относительно y: , где
Если то   , где
   Пример:

X=Y = 1+2+3 , ,
,
малый ® большой =
“средний” ° (“малый” ® “большой”) = (0.6  0.6  0.6)

23.1. Алгоритм модифицированного синтеза. Особенности и преимущества.
; i Î V2, V3, ..., Vm    ; i – номер уровня; j – номер по порядку в этом уровне.
   1: опр-им вектора приор-ов альт-в относ элементов  предпоследнего уровня; в общем сл индекс этого уровня = S, в данном сл = 3; в рез-те получим мн-во векторов:
, где  - вектор приор-ов относ элемента .
   В данном сл имеем: .
   2: аналог-ым обр обраб-ся матрицы парных сравн относ-но др эл-ов :

   Итак, получили вектора .
   3: осущ-ся собственный иерархический синтез – послед-е опр-ение приор-ов альт-в относ элементов , находящихся на всех иерархических уровнях, кроме предпоследнего уровня S, для αого уже опр-ены веса. Вычисление приор-ов альт-в провод-ся в направлении от нижних уровней к верхним с учётом конкретных связей м\у элементами. Вычисления проводятся путём перемножения соотв-ющих векторов и матриц. Общий вид выраж-ия для вычисления приор-ов альт-в будет: , где  - вектор приор-ов альт-в относ ;  - вектор, полученный при обработке матрицы парных сравн-ий для элементов ; ; ...; относ  с учётом связей:
1:   
2:   

3: ; ; .

23.2. Метод принятия решений на основе композиционного правила вывода.
Рассм-ся метод, многокр-ого выбора альт-в с исп-ованием композиц-ого правила вывода и огран-я описаний альт-в с информацией о предположениях ЛПР, заданных в виде нечётких суждений “если”, “то”.

• Формируем мн-во кр-ев и мн-во альт-в, ставим в соответствие каждому кр-ю лингв-ескую переменную (имя, Ti, S, Gi, mi) = Ki, где ; .

Все кр-и задаются на базовом мн-ве S: альт-вы {Sj}, где  | {Ki}, .

• Предпочтения ЛПР выраж-ы правилами если-то, причём онтецеденты содержат сост-ые выраж-ия, состоящие из базовых термов лингв-еских кр-ев, со1ённых связками “и”, “или” и модификациями “не”, “очень”, “более-менее”. Консеквент предст собой значение лингв-еской переменной, αая указывает на то, как сост-ое выраж-ие удовл-ет цели ЛПР:

<”степень соответствия с целью”, T, [0,1], G, M>
  Рассмотрим пример:
T* = T È G(T) = {“удовл-ное”, “более чем удовл-ное”, “безупречное”, “очень удовл-ное”, “неудовл-ное”}
;
В общем виде: di: если , то ; i = 1, r.

• Так как Ki задаются на базовом мн-ве S, то после выполнения È, Ç и модификаторов, получим: di: если  то . Далее формализуем его в виде нечёткого отношения , .
• При выводе будут уч-ться правила , тогда . Можно учесть важность каждого правила uI = r*nI, тогда .
• Степень соответствия Sj опр-им с пом композиц-ого правила вывода: , где  - степень соответствия с обобщённой целью;

• Сравн нечётких мн-в, заданных на 1ичном интервале, и на основании этого ранжировать альт-вы.

24.1. Метод стандартов. Абсолютные и относительные измерения.
Метод анализа иерархий не всегда может быть эффективно исп-ован в неαых практических случаях:

• Когда предложено для анализа больше 9 альт-в; в этом сл построение согласованных матриц парных сравн-ий становится затруднительным.
• При добавлении новых альт-в порядок ранее прошедших сравн альт-в изменяется. Этот недостаток => из того, что мы производим относительные измерения.
• Альт-вы могут поступать эксперту не 1вр-но, а через промежутки времени Þ нельзя попарно сравнивать объекты и выход из такой ситуации – применение исп-ования идеи абсолютных измерений.

   Для реш проблемы сравн-ия альт-в в указанных ситуациях целесообразно сравн альт-в осуществлять относ стандартов. Стандарт устанавливает уровень интенсивности объекта относ кр-я кач или количества, например, фактор надёжности автомобиля: высокая, средняя, низкая. Опыт работы: новичок (1-2 года) – небольшой опыт; зрелый (2-5 лет); специалист (6-10 лет); эксперт (больше 10 лет).
   В иерархической структуре стандарты присваиваются элементам, имеющим непосредственную связь с альт-вами. При этом число таких стандартов может быть различно для разных кр-ев. Численное значение каждого стандарта может опр-яться с пом матрицы парных сравн-ий.

24.2. Нечёткие модели управления. Обоснование использования.

Нечёткие модели управления. Обоснование их использования

Условно можно выделить два класса объектов, с & приходиться сталкиваться специалистам в области автоматизации управления:

• простые;
• сложные.

Простыми явл. объекты, & могут быть описаны количественными математическими моделями.
Сложными явл. объекты, & характеризуются следующим:

• чтобы выбрать управляющее воздействие необходимо учитывать много целей как кол-ные, так и кач-ные;
• отсутствует либо является неприемлемо сложным формализация описания ОУ, то есть создание матем-кой модели для реального объекта может потребовать годы работы;
• значительная часть инф., необходимая для матем-кого описания объекта сущ-ет в форме представлений и описаний специалистов, имеющих опыт работы с данным объектом.

Построение точных матем-ких моделей сложных объектов, пригодных для реализации и эксп-ции на современных комп. либо затруднит, либо вообще невозможно. Здесь специалист оказывается перед необходимостью выбора одной из альтернатив:

• При построении модели, как и в случае простого объекта, постараться учесть все возможные факторы. Если можно построить такую модель, используя традиционные мат-кие методы, то она получается громоздкой. Время реакции разработки системы на изменение ситуации на объекте оказывается недопустимо большим.
• Абстрагирование от не& параметров объекта с целью получения более простой модели (линеаризация), но модель получается неадекватной.

Возможные выходы из тупика могут быть следующие:

• попытка применить нетрадиционный мат-кий аппарат;
• попытка построения не модели объекта, а модели управления объектом, то есть мод-ет не сам объект, а человек-оператор в процедуре управления этим объектом. Моделировать должен квалифицированный специалист.

Если есть опытный оператор, то модель управления объектом уже создана. Она существует либо в виде набора инструкций по управлению, либо в памяти оператора.
В процессе своей управленческой деятельности человек получает и осознаёт огромное количество инф.. Однако ограниченные возм-ти мозга заставляют его осуществлять вербальное перекодирование исходной инф., используя при этом уникальные возм-ти человеческого языка. Почти все рассуждения в этом случае явл. приближёнными (нечёткими) и осущ-ся на уровне качественных описаний.

Из этого вывода следует, что 1 и 2 выражения равны!
В записанной формуле было

25.1. Рациональное распределение ресурсов. Метод максимизации коэффициента «полезность/стоимость».

Рациональное распределение ресурсов на основе АИП
   Принятие решения заложено в ядре всех управленческих ф. предприятий. Рационально распределить ресурсы – это значит расп-ть их так, чтобы они удовлетворяли целям орг-ции. Правильное определение целей определяет конкурентоспособность предприятий. Неплохо, если цели структурированы иерархически, в соответствии со структурой предприятий. Для того, чтобы осущ-ть распределение ресурсов рацион-ым образом необходимо выполнить следующие шаги:

• опр-ть альтернативы;
• найти те уровни, & дают наилучшие глобальные рез-ты для орг-ции, то есть в максимальной степени удовлетворяют цели.

   Рассмотрим пример: консультационный РС комитет университета имеет в наличии 15000 $ для финансирования планов. После обнародования были приняты заявки и отобраны 11 проектов. Общая сумма для реализации всех 11 проектов = 34400 $. Комитет состоит из 9 преподавателей, & должны решать какие проекты финансировать.

1 = 0.135
2 = 0.086
3 = 0.023
4 = 0.173
5 = 0.065
6 = 0.513

ос – очень сильно
з – значительно
с – средне
нм – немного
ом – очень мало
Y – да; N – нет
в - важно
н – неважно
2 - вклад в студентов;
3 – вклад в факультеты;
4 – вклад в поиск альтернативных ресурсов;
5 – вклад в долгосрочную прибыль университета;
6 – увеличение существующих ресурсов;
7 – вклад в АО и ПО.
   После того, как определены интенсивности относительно подцелей, каждая из альтернатив проектов оценивается:

   Следовательно, шаги 2 и 3 – модифицирование синтеза, в результате & заполняется графа “общий приоритет”.
   Итак, решается задача двумя методами:

• Максимизация коэффициента приоритет/стоимость.

   Имея такой коэффициент, отсортировывают проекты по убыванию, а затем начинают распределять бюджет, начиная с проекта у & этот коэффициент = max.

   Следовательно, построим Парето множество:

Увел. или умен. бюджет на не& процент, можно убедиться, что это не гарантирует тоже самое увеличение и уменьшение пользы приоритета.

25.2. Применение многозначных логических систем при формализации нечётких условных правил. Классификация их относительных критериев.

Определение операции импликации в различных системах многозначных логик

Для практических целей в большинстве случаев целесообразно работать с многозначными логиками, в & логические переменные принимают значения из интервала [0,1].
В настоящее время известно более 10 различных систем многозначных логик, для & удовлетворяются законы коммуникативности, ассоциативности, дистрибутивности и тому подобные.
Операции импликации в тех многозначных логиках, & чисто используются при выводе, определяются следующим образом:

- логика Z1

- логика Z2

- логика Z3

Применение многозначных логик систем при формализации

нечётких условных предложений “Если ... то ...”
Если  - 1 – импликация;
Если  - 2 – арифметическое правило, где  - предельная сумма;

Если  - 3.

Для анализа эффективности этих определений используются не& критерии. Смысл данных критериев в том, что они дают возможность проверить: на сколько то или иное правило нечёткого вывода удовлетворяет человеческой интуиции при приближённых рассуждениях.
I. Первая предпосылка:
Вторая предпосылка:
Вывод:
II-a. Первая предпосылка:
Вторая предпосылка:
Вывод:
II-b. Первая предпосылка:
Вторая предпосылка:
Вывод:
III. Первая предпосылка:
Вторая предпосылка:
Вывод:
IV-a. Первая предпосылка:
Вторая предпосылка:
Вывод:
IV-b. Первая предпосылка:
Вторая предпосылка:
Вывод:

В работах, посвящённых нечёткому выводу высказано мнение, что операция импликации может принадлежать любой многозначной логике в логической системе, и условия для выбора логической системы при разработке правил нечёткого вывода должны отвечать критериям I – IV.

 - 4
 - 5
 - 6

 - 7
 - 8
 - 9